Saturday, October 22, 2016

Ramanujan's Math still unsolved

Ramanujan’s second construction for the approximate squaring of a circle
To experience the greatness of great men one has to relive or redo some acts of theirs to the best of ones ability. In ones youth such enactments might inspire one to make a bid for greatness. Whether this happens or not is mostly up to your genetics. Nevertheless, through the enactments one can at least savor the experience of what it takes to get there. If there was one man in our midst who could have lived up to be a Gauss or an Euler it was Srinivasa Ramanujan.
By redoing some of his acts that are within the grasp of our limited intellect we experienced the monument that he was. He gave two constructions for the approximate squaring of a circle using a compass and a straight-edge. We had earlier described the first and more widely known of those. The second appears in his paper titled “Modular equations and approximations to \pi“. In this paper in addition to remarkable approximations for the perimeter of the ellipse, which we had also alluded to before, he gives several series for \pi=3.141592653589793.... One of these series with just the first term leads to the below approximation:
\pi \approx \dfrac{99^2}{2*\sqrt{2}*1103} = 3.141592730013305 which is correct down to 6 decimal places. It is this kind of accuracy he captures in his first construction for the quadrature of the circle. In the midst of the dizzying series he conjures in a very Hindu style of mathematics, he says that he came up with an empirical approximation which leads to the below construction for the approximate squaring of the circle:
1) Draw circle to be squared with center O.
2) Draw its diameter \overline{AB}.
3) Trisect its radius \overline{AO} to get a third of it as \overline{AF}.
4) Bisect the semicircle AB to get point C.
5) Draw \overline{BC}.
6) On \overline{BC} mark \overline{CG}= \overline{GH}=\overline{AF}.
7) Join point A to point H to get \overline{AH} and to point G to get \overline{AG}
8) With radius as \overline{AG} cut \overline{AH} to get point I.
9) Draw a line parallel to \overline{GH} through point I to cut \overline{AG} at point J.
10) Join points O and J to get \overline{OJ}.
11) Draw a line parallel to \overline{OJ} through point F to cut \overline{AG} at point K.
12) Draw the tangent to the circle at point A and cut it with radius as \overline{AK} to get point L.
13) Draw \overrightarrow{OL} to cut circle at point M.
14) Draw semicircle LM and perpendicular from point O to cut this semicircle at point N.
15) Triplicate \overline{ON} to get \overline{OQ}=3 \times \overline{ON}.
16) Produce \overline{OQ} in the opposite direction to cut circle at point R.
17) Draw semicircle RQ and a perpendicular from point O to cut it at point S.
18) Thus, we have \overline{OS} as the side of the square OSTU which has approximately the same area the starting circle.
Ramanujan tells us that his earlier construction gave an “ordinary” value \pi=\dfrac{355}{113}=3.141592920353982, which is correct to six decimal places. This one, however, gives us the value:
\pi=\left (9^2+\dfrac{19^2}{22}\right)^{\frac{1}{4}}= 3.141592652582646
This is correct to a whopping eight decimal places keeping with the Hindu love for big numbers.
source: Manasataramgini

Monday, October 17, 2016

Purusha Suktam From Rigved- Origin of Universe

Purusha Suktam - in sanskrit with meaning - from Rig Veda 10.90

- from Rig Veda (10.90)

पुरुष सुक्तम् - सहस्रशीर्षा पुरुषः सहस्राक्षः सहस्रपात्
Purusha Suktam - Sahasra-Shirsaa Purusah Sahasra-Aksah Sahasra-Paat

सहस्रशीर्षा पुरुषः सहस्राक्षः सहस्रपात् ।
 भूमिं विश्वतो वृत्वात्यतिष्ठद्दशाङुलम् ॥१॥
Sahasra-Shiirssaa Purussah Sahasra-Akssah Sahasra-Paat |
Sa Bhuumim Vishvato Vrtva-Atya[i]-Tisstthad-Dasha-Angulam ||1||

1.1: The Purusha (Universal Being) has Thousand HeadsThousand Eyes and Thousand Feet (Thousand signifies innumerable which points to the omnipresence of the Universal Being),
1.2: He envelops the World from all sides (i.e. He pervades each part of the Creation), and extends beyond in the Ten Directions ( represented by Ten Fingers ),

पुरुष एवेदं सर्वं यद्भूतं यच्च भव्यम् ।
उतामृतत्वस्येशानो यदन्नेनातिरोहति ॥२॥
Purussa Evedam Sarvam Yad-Bhuutam Yacca Bhavyam |
Uta-Amrtatvasye[a-I]shaano Yad-Annena-Ati-Rohati ||2||

2.1: The Purusha is indeed All this (Creation) in essence; That which existed in the Pastand that which will exist in the Future,
2.2: Everything (i.e the whole Creation) is woven by the Immortal essence of the Great Lord (Purusha); by becoming Food of which (i.e. by getting consumed in Whose Immortal essence through surrender) one transcends the gross world (and becomes Immortal).

एतावानस्य महिमातो ज्यायाँश्च पूरुषः ।
पादोऽस्य विश्वा भूतानि त्रिपादस्यामृतं दिवि ॥३॥
Etaavaanasya Mahima-Ato Jyaayaash-Ca Puurussah |
Paado-Asya Vishvaa Bhuutaani Tri-Paad-Asya-Amrtam Divi ||3||

3.1: The Purusha is Greater than all the Greatness (which can be expressed by words),
3.2: His One Foot has become all these (visible) Worlds, and His Three Feet rests in the Immortal World of the Transcendence.

त्रिपादूर्ध्व उदैत्पूरुषः पादोऽस्येहाभवत्पुनः ।
ततो विष्वङ् व्यक्रामत्साशनानशने अभि ॥४॥
Tri-Paad-Uurdhva Udait-Puurussah Paado-Asye[a-I]ha-Abhavat-Punah |
Tato Vissvang Vya[i-A]kraamat-Saashana-Anashane Abhi ||4||

4.1: The Three Feet of the Purusha is raised high Above (in Transcendental Realm), and His One Foot becomes the Creation again and again.
4.2: There, in the Creation, He pervades all the Living ( who eats ) and the Non-Living ( who does not eat ) beings.

तस्माद्विराळजायत विराजो अधि पूरुषः ।
 जातो अत्यरिच्यत पश्चाद्भूमिमथो पुरः ॥५॥
Tasmaad-Viraadda-Jaayata Viraajo Adhi Puurussah |
Sa Jaato Atya[i-A]ricyata Pashcaad-Bhuumim-Atho Purah ||5||

5.1: From Him (i.e. the Purusha) was born the Virat; (the Virat came into being) from the presence of the Shining Purusha (Who remained as the background or substratum of Virat);
5.2: He (i.e. the Virat) created the Earth, by manifesting Her from His own being as substratum.

यत्पुरुषेण हविषा देवा यज्ञमतन्वत ।
वसन्तो अस्यासीदाज्यं ग्रीष्म इध्मः शरद्धविः ॥६॥
Yat-Purussenna Havissaa Devaa Yajnyam-Atanvata |
Vasanto Asya-Asiida-Ajyam Griissma Idhmah Sharad-[d]Havih ||6||

6.1: With the Purusha as the (Sacrificial) Fire, the Deva (the Shining One, referring to Virat) continued the Yagya (Sacrifice of creation),
6.2: Spring was (created as) the clarified Butter (of that Yagya), Summer was (created as) the Fuel (of that Yagya), and Autumn was (created as) the Havis (Sacrificial offering of that Yagya).

तं यज्ञं बर्हिषि प्रौक्षन्पुरुषं जातमग्रतः ।
तेन देवा अयजन्त साध्या ऋषयश्च ये ॥७॥
Tam Yajnyam Barhissi Pra-Ukssan-Purussam Jaatam-Agratah |
Tena Devaa Ayajanta Saadhyaa Rssayash-Ca Ye ||7||

7.1: The First Divine Men were created as the Holy Water sprinkled with the Kusa Grass in that Yagya (Sacrifice of Creation).
7.2: The First Divine Men were the Sadhya Devas and the Rishis, Who were created by Him, the Deva (the Shining One, referring to Virat), Who performed the Yagya. (These Rishis were not human but divine Rishis like Saptarshis created directly by Virat).

तस्माद्यज्ञात्सर्वहुतः सम्भृतं पृषदाज्यम् ।
पशून्ताँश्चक्रे वायव्यानारण्यान् ग्राम्याश्च ये ॥८॥
Tasmaad-Yajnyaat-Sarvahutah Sambhrtam Prssadaajyam |
Pashuun-Taashcakre Vaayavyaan-Aarannyaan Graamyaash-Ca Ye ||8||

8.1: From the Complete Offering of His (i.e. Virat's) Yagya (Sacrifice of Creation) was obtained Ghee mixed with coagulated Milk, ...
8.2: ... which (i.e. the Ghee and Milk) are (the created) Animals, both of Air (Birds) and of Forests (Wild Animals) and Villages (Domestic Animals).

तस्माद्यज्ञात्सर्वहुत ऋचः सामानि जज्ञिरे ।
छन्दांसि जज्ञिरे तस्माद्यजुस्तस्मादजायत ॥९॥
Tasmaad-Yajnyaat-Sarvahuta Rcah Saamaani Jajnyire |
Chandaamsi Jajnyire Tasmaad-Yajus-Tasmaad-Ajaayata ||9||

9.1: From the Complete Offering of His (i.e. Virat's) Yagya (Sacrifice of Creation) was born the Rig Veda and Sama Veda,
9.2: The Chandas (Vedic Meters) were born from Him, and the Yajur Veda was born from Him.

तस्मादश्वा अजायन्त ये के चोभयादतः ।
गावोः  जज्ञिरे तस्मात् तस्माज्जाता अजावयः ॥१०॥
Tasmaad-Ashvaa Ajaayanta Ye Ke Co[a-U]bhayaadatah |
Gaavoh Ha Jajnyire Tasmaat Tasmaaj-Jaataa Ajaa-Vayah ||10||

10.1: From Him (i.e. Virat) was born the Horses, and all those animals who has teeth in both jaws,
10.2: From Him (i.e. Virat) was born the Cows, and from Him was born all types of Goats.

यत्पुरुषं व्यदधुः कतिधा व्यकल्पयन् ।
मुखं किमस्य कौ बाहू का ऊरू पादा उच्येते ॥११॥
Yat-Purussam Vya[i-A]dadhuh Katidhaa Vya[i-A]kalpayan |
Mukham Kimasya Kau Baahuu Kaa Uuruu Paadaa Ucyete ||11||

11.1: What did the Purusha (i.e. Virat) hold within Him? How many parts were assigned in His Huge Form?
11.2: What was His MouthWhat was His ArmsWhat was His Thighs? And what was His Feet?

ब्राह्मणोऽस्य मुखमासीद् बाहू राजन्यः कृतः ।
ऊरू तदस्य यद्वैश्यः पद्भ्यां शूद्रो अजायत ॥१२॥
Braahmanno-Asya Mukham-Aasiid Baahuu Raajanyah Krtah |
Uuruu Tad-Asya Yad-Vaishyah Padbhyaam Shuudro Ajaayata ||12||

12.1: The Brahmanas were His Mouth, the Kshatriyas became His Arms,
12.2: The Vaishyas were His Thighs, and the Shudras were assigned to His Feet.

चन्द्रमा मनसो जातश्चक्षोः सूर्यो अजायत ।
मुखादिन्द्रश्चाग्निश्च प्राणाद्वायुरजायत ॥१३॥
Candramaa Manaso Jaatash-Cakssoh Suuryo Ajaayata |
Mukhaad-Indrash-Ca-Agnish-Ca Praannaad-Vaayur-Ajaayata ||13||

13.1: The Moon was born from His Mind and the Sun was born from His Eyes,
13.2: Indra and Agni (Fire) were born from His Mouth, and Vayu (Wind) was born from His Breath.

नाभ्या आसीदन्तरिक्षं शीर्ष्णो द्यौः समवर्तत ।
पद्भ्यां भूमिर्दिशः श्रोत्रात्तथा लोकाँ अकल्पयन् ॥१४॥
Naabhyaa Aasiid-Antarikssam Shiirssnno Dyauh Samavartata |
Padbhyaam Bhuumir-Dishah Shrotraat-Tathaa Lokaa Akalpayan ||14||

14.1: His Navel became the Antariksha (the intermediate Space between Heaven and Earth), His Head sustained the Heaven,
14.2: From His Feet the Earth (was sustained), and from His Ears the Directions (were sustained); in this manner all the Worlds were regulated by Him.

सप्तास्यासन् परिधयस्त्रिः सप्त समिधः कृताः ।
देवा यद्यज्ञं तन्वाना अबध्नन्पुरुषं पशुम् ॥१५॥
Saptaasya[i-A]asan Paridhayas-Trih Sapta Samidhah Krtaah |
Devaa Yadyajnyam Tanvaanaa Abadhnan-Purussam Pashum ||15||

15.1: By making Seven Enclosures with Three times Seven sacrificial Firewood, ...
15.2: ... the Deva (the Shining One referring to Virat) in that Yagya (Sacrifice of Creation), bound the infinite expanse of the Purusha as (apparently) finite living beings (Pashu).

यज्ञेन यज्ञमयजन्त देवास्तानि धर्माणि प्रथमान्यासन् ।
ते  नाकं महिमानः सचन्त यत्र पूर्वे साध्याः सन्ति देवाः ॥१६॥
Yajnyena Yajnyam-Ayajanta Devaas-Taani Dharmaanni Prathamaanya[i-A]asan |
Te Ha Naakam Mahimaanah Sa-Canta Yatra Puurve Saadhyaah Santi Devaah ||16||

16.1: The Devas performed the external Yagya by meditating on the real Yagya (i.e. contemplating on the Purusha Who is Shining behind everything); And thus they first obtained the Dharma (based on the Oneness of the Purusha),
16.2: By Meditating on the Greatness of the Chidakasha (Blissful Spiritual Sky behind everyone, which is the essence of the Purusha), during those earlier times, the Spiritual Aspirants became the Shining One themselves.

Sunday, October 16, 2016

रावण कृत शिव ताण्डव स्तोत्रम्, Tandav Strotum or Mantra

चकारचण्ड्ताण्डवंतनोतुनः शिवः शिवम् .. १..
जिन शिव जी की सघन जटारूप वन से प्रवाहित हो गंगा जी की धारायं उनके कंठ को प्रक्षालित क होती हैं, जिनके गले में बडे एवं लम्बे सर्पों की मालाएं लटक रहीं हैं, तथा जो शिव जी डम-डम डमरू बजा कर प्रचण्ड ताण्डव करते हैं, वे शिवजी हमारा कल्यान करें
विलोलवीचिवल्लरीविराजमानमूर्धनि .
किशोरचन्द्रशेखरे रतिः प्रतिक्षणं मम .. २..
जिन शिव जी के जटाओं में अतिवेग से विलास पुर्वक भ्रमण कर रही देवी गंगा की लहरे उनके शिश पर लहरा रहीं हैं, जिनके मस्तक पर अग्नि की प्रचण्ड ज्वालायें धधक-धधक करके प्रज्वलित हो रहीं हैं, उन बाल चंद्रमा से विभूषित शिवजी में मेरा अंनुराग प्रतिक्षण बढता रहे।
स्फुरद्दिगन्तसन्ततिप्रमोदमानमानसे .
क्वचिद्दिगम्बरेमनो विनोदमेतु वस्तुनि .. ३..
जो पर्वतराजसुता(पार्वती जी) केअ विलासमय रमणिय कटाक्षों में परम आनन्दित चित्त रहते हैं, जिनके मस्तक में सम्पूर्ण सृष्टि एवं प्राणीगण वास करते हैं, तथा जिनके कृपादृष्टि मात्र से भक्तों की समस्त विपत्तियां दूर हो जाती हैं, ऐसे दिगम्बर (आकाश को वस्त्र सामान धारण करने वाले) शिवजी की आराधना से मेरा चित्त सर्वदा आन्दित रहे।
मनो विनोदमद्भुतंबिभर्तुभूतभर्तरि .. ४..
मैं उन शिवजी की भक्ति में आन्दित रहूँ जो सभी प्राणियों की के आधार एवं रक्षक हैं, जिनके जाटाओं में लिपटे सर्पों के फण की मणियों के प्रकाश पीले वर्ण प्रभा-समुहरूपकेसर के कातिं से दिशाओं को प्रकाशित करते हैं और जो गजचर्म से विभुषित हैं।

भुजङ्गराजमालयानिबद्धजाटजूटक:श्रियैचिरायजायतां चकोरबन्धुशेखरः .. ५..
जिन शिव जी का चरण इन्द्र-विष्णु आदि देवताओं के मस्तक के पुष्पों के धूल से रंजित हैं (जिन्हे देवतागण अपने सर के पुष्प अर्पन करते हैं), जिनकी जटा पर लाल सर्प विराजमान है, वो चन्द्रशेखर हमें चिरकाल के लिए सम्पदा दें।
महाकपालिसम्पदेशिरोजटालमस्तुनः.. ६..
जिन शिव जी ने इन्द्रादि देवताओं का गर्व दहन करते हुए, कामदेव को अपने विशाल मस्तक की अग्नि ज्वाला से भस्म कर दिया, तथा जो सभि देवों द्वारा पुज्य हैं, तथा चन्द्रमा और गंगा द्वारा सुशोभित हैं, वे मुझे सिद्दी प्रदान करें।
प्रकल्पनैकशिल्पिनित्रिलोचनेरतिर्मम … ७..
जिनके मस्तक से धक-धक करती प्रचण्ड ज्वाला ने कामदेव को भस्म कर दिया तथा जो शिव पार्वती जी के स्तन के अग्र भाग पर चित्रकारी करने में अति चतुर है ( यहाँ पार्वती प्रकृति हैं, तथा चित्रकारी सृजन है), उन शिव जी में मेरी प्रीति अटल हो।
कुहूनिशीथिनीतमः प्रबन्धबद्धकन्धरः 
निलिम्पनिर्झरीधरस्तनोतु कृत्तिसिन्धुरः
कलानिधानबन्धुरः श्रियं जगद्धुरंधरः .. ८..
जिनका कण्ठ नवीन मेंघों की घटाओं से परिपूर्ण आमवस्या की रात्रि के सामान काला है, जो कि गज-चर्म, गंगा एवं बाल-चन्द्र द्वारा शोभायमान हैं तथा जो कि जगत का बोझ धारण करने वाले हैं, वे शिव जी हमे सभि प्रकार की सम्पनता प्रदान करें।
वलम्बिकण्ठकन्दलीरुचिप्रबद्धकन्धरम् .

स्मरच्छिदं पुरच्छिदं भवच्छिदं मखच्छिदं
गजच्छिदांधकछिदं तमंतकच्छिदं भजे .. ९..
जिनका कण्ठ और कन्धा पूर्ण खिले हुए नीलकमल की फैली हुई सुन्दर श्याम प्रभा से विभुषित है, जो कामदेव और त्रिपुरासुर के विनाशक, संसार के दु:खो6 के काटने वाले, दक्षयज्ञ विनाशक, गजासुर एवं अन्धकासुर के संहारक हैं तथा जो मृत्यू को वश में करने वाले हैं, मैं उन शिव जी को भजता हूँ
रसप्रवाहमाधुरी विजृंभणामधुव्रतम् .

स्मरान्तकं पुरान्तकं भवान्तकं मखान्तकं
गजान्तकान्धकान्तकं तमन्तकान्तकं भजे .. १०..
जो कल्यानमय, अविनाशि, समस्त कलाओं के रस का अस्वादन करने वाले हैं, जो कामदेव को भस्म करने वाले हैं, त्रिपुरासुर, गजासुर, अन्धकासुर के सहांरक, दक्षयज्ञविध्वसंक तथा स्वयं यमराज के लिए भी यमस्वरूप हैं, मैं उन शिव जी को भजता हूँ।
ध्वनिक्रमप्रवर्तित प्रचण्डताण्डवः शिवः .. ११..
अतयंत वेग से भ्रमण कर रहे सर्पों के फूफकार से क्रमश: ललाट में बढी हूई प्रचंण अग्नि के मध्य मृदंग की मंगलकारी उच्च धिम-धिम की ध्वनि के साथ ताण्डव नृत्य में लीन शिव जी सर्व प्रकार सुशोभित हो रहे हैं।
गरिष्ठरत्नलोष्ठयोः सुहृद्विपक्षपक्षयोः .
तृष्णारविन्दचक्षुषोः प्रजामहीमहेन्द्रयोः
समप्रवृतिकः कदा सदाशिवं भजे .. १२..
कठोर पत्थर एवं कोमल शय्या, सर्प एवं मोतियों की मालाओं, बहुमूल्य रत्न एवं मिट्टी के टूकडों, शत्रू एवं मित्रों, राजाओं तथा प्रजाओं, तिनकों तथा कमलों पर सामान दृष्टि रखने वाले शिव को मैं भजता हूँ।
कदा निलिम्पनिर्झरीनिकुञ्जकोटरे वसन्
विमुक्तदुर्मतिः सदा शिरःस्थमञ्जलिं वहन् .

विमुक्तलोललोचनो ललामभाललग्नकः
शिवेति मंत्रमुच्चरन् कदा सुखी भवाम्यहम् .. १३..
कब मैं गंगा जी के कछारगुञ में निवास करता हुआ, निष्कपट हो, सिर पर अंजली धारण कर चंचल नेत्रों तथा ललाट वाले शिव जी का मंत्रोच्चार करते हुए अक्षय सुख को प्राप्त करूंगा।

निलिम्प नाथनागरी कदम्ब मौलमल्लिका-
निगुम्फनिर्भक्षरन्म धूष्णिकामनोहरः ।
तनोतु नो मनोमुदं विनोदिनींमहनिशं
परिश्रय परं पदं तदंगजत्विषां चयः ॥१४ ॥

प्रचण्ड वाडवानल प्रभाशुभप्रचारणी
महाष्टसिद्धिकामिनी जनावहूत जल्पना ।
विमुक्त वाम लोचनो विवाहकालिकध्वनिः
शिवेति मन्त्रभूषगो जगज्जयाय जायताम्‌ ॥१५॥

इदम् हि नित्यमेवमुक्तमुत्तमोत्तमं स्तवं
पठन्स्मरन्ब्रुवन्नरो विशुद्धिमेतिसंततम् .

हरे गुरौ सुभक्तिमा शुयातिना न्यथा गतिं
विमोहनं हि देहिनां सुशङ्करस्य चिंतनम् .. १६..
इस उत्त्मोत्त्म शिव ताण्डव स्त्रोत को नित्य पढने या श्रवण करने मात्र से प्राणि पवित्र हो, परंगुरू शिव में स्थापित हो जाता है तथा सभी प्रकार के भ्रमों से मुक्त हो जाता है।
पूजावसानसमये दशवक्त्रगीतं
शंभुपूजनपरं पठति प्रदोषे .
तस्य स्थिरां रथ गजेन्द्र तुरङ्ग युक्तां
लक्ष्मीं सदैवसुमुखिं प्रददाति शंभुः .. १७..
प्रात: शिवपुजन के अंत में इस रावणकृत शिवताण्डवस्तोत्र के गान से लक्ष्मी स्थिर रहती हैं तथा भक्त रथ, गज, घोडा आदि सम्पदा से सर्वदा युक्त रहता है।